Stefanův–Boltzmannův zákon

Stefanův–Boltzmannův zákon publikovaný roku 1879 Ludwigem Boltzmannem a Jožefem Stefanem popisuje celkovou intenzitu záření absolutně černého tělesa. Tento zákon říká, že intenzita vyzařování roste se čtvrtou mocninou termodynamické teploty zářícího tělesa.

$I=\sigma T^{4}$

• I – celková intenzita záření (podíl výkonu a plochy) [W·m⁻²]
• $\sigma =5{,}670\,374\,419\cdot 10^{-8}{\rm {W\,m^{-2}\,K^{-4}}}$ – Stefanova–Boltzmannova konstanta
• T – termodynamická teplota [K]

Pro „šedé těleso“ lze Stefanův–Boltzmannův zákon psát jako

$I=\epsilon \sigma T^{4}$

kde $\epsilon$ je emisivita povrchu tělesa.

Tabulka

Tabulka ukazuje příklady hodnot měrného výkonu (intenzity záření) pro některé teploty:

Teplota [°C]	Teplota [K]	Intenzita [W·m−2]	Poznámka
0	273,15	315,6	teplota tání ledu
100	373,15	1100	teplota varu vody
120,85	394	1366	solární konstanta ve vzdálenosti 1 AU od Slunce, tuto teplotu by měla černá deska kolmá ke Slunci, kdyby mohla vyzařovat jen osluněnou stranou
5507	5780	6,33×107	povrch Slunce

Odvození

Vyjdeme z Planckova vyzařovacího zákona:

${\rm {d}}I(\omega )={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {\omega ^{3}}{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}\mathrm {d} \omega$,

v němž veličina $I(\omega )$ je intenzita záření absolutně černého tělesa na dané frekvenci $\omega$. Celkovou intenzitu záření $I$ vyzařovanou napříč spektrem pak získáme integrací přes všechny možné úhlové frekvence záření:

$I=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} I(\omega )}{\mathrm {d} \omega }}\mathrm {d} \omega ={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\omega ^{3}\mathrm {d} \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}$.

Integrál v tomto výrazu zjednodušíme substitucí $x={\frac {\hbar \omega }{kT}}$, podle které $\omega ={\frac {kT}{\hbar }}x$ a $\mathrm {d} \omega ={\frac {kT}{\hbar }}\mathrm {d} x$:

$I={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{3}\mathrm {d} x}{e^{x}-1}}{\frac {k^{4}T^{4}}{\hbar ^{4}}}$.

Hodnota určitého integrálu z tohoto výrazu je $\int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{3}\mathrm {d} x}{e^{x}-1}}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$, takže

$I={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}\,T^{4}=\sigma T^{4}$.

Související články

• Planckův vyzařovací zákon
• Wienův posunovací zákon

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Stefanův-Boltzmannův zákon na Wikimedia Commons

Autoritní data	PSH: 3502