Summary

Description01-Gleichung Euler-Fuß.svg	Deutsch: Konvexes Viereck nach Gleichung von Euler-Fuß English: Convex quadrilateral according to equation of Euler-Fuß
Date	25 July 2017
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Konstruktion des konvexen Vierecks

Julian Lowell Coolidge veröffentlichte im Jahr 1916 in seinem Buch A Treatise on the Circle and the Sphere eine Konstruktion des konvexen Vierecks. Da die Diagonale ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{3}}}}$ durch die beiden Mittelpunkte ${\displaystyle O'}$ und ${\displaystyle O}$ der Kreise ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ verläuft, ist es zugleich ein Drachenviereck.^[1] Die nachfolgende Konstruktion nutzt die in seinem Buch enthaltene prinzipielle Beschreibung sowie die betreffende Figur als Basis.

Für ein beliebiges konvexen Vierecks beginnt man mit dem Ziehen des Kreises ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ mit dem frei gewählten Radius ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ und dem sich anschließenden Einzeichnen der horizontalen und vertikalen Mittelachse. Es ergeben sich damit die Schnittpunkte ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{3}}$ auf der horizontalen und der Schnittpunkt ${\displaystyle B}$ auf der vertikalen Mittelachse. Jetzt wird auf dem Kreis ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ der Punkt ${\displaystyle A_{4}}$ nach Belieben bestimmt und anschließend ${\displaystyle A_{4}}$ mit den Punkten ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle B}$ verbunden. Die Strecke ${\displaystyle {\overline {BA_{4}}}}$ ist nach dem Südpolsatz die Winkelhalbierende des in diesem Fall rechten Winkels ${\displaystyle A_{1}A_{4}A_{3}}$, da der Punkt ${\displaystyle B}$ auf der Mittelsenkrechten der Grundlinie ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{3}}}}$ des Dreiecks ${\displaystyle A_{1}A_{3}A_{4}}$ liegt. ${\displaystyle {\overline {BA_{4}}}}$ schneidet die Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{3}}}}$ in ${\displaystyle O'}$ mit dem Abstand ${\displaystyle {\mathcal {d}}}$ zum Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ des Umkreises ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$. Es folgt eine Parallele zur Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{4}}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle O'}$ bis zur Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{3}A_{4}}}}$. Der hiermit erzeugte Schnittpunkt ${\displaystyle C}$ bildet die Strecke ${\displaystyle {\overline {O'C}}}$, deren Länge gleich dem Radius ${\displaystyle {\mathcal {r}}}$ ist, mit dem nun um den Punkt ${\displaystyle O'}$ der Inkreis ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ gezogen wird. Der Inkreis ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ tangiert die Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{4}}}}$ im Punkt ${\displaystyle D}$. Weiter geht es mit den beiden Parallelen zur vertikalen Mittelachse ab den Punkten ${\displaystyle D}$ bzw. ${\displaystyle C}$ jeweils bis zur Inkreislinie von ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$. Die Schnittpunkte sind ${\displaystyle A'_{1}}$ und ${\displaystyle A'_{3}}$ auf der Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}$ bzw. ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ auf dem Inkreis ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$. Abschließend werden die beiden letzten Seiten des Vierecks ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {A_{2}A_{3}}}}$ durch die Berührungspunkte ${\displaystyle E}$ bzw. ${\displaystyle F}$ eingezeichnet. Somit ist das konvexe Viereck ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}$ fertiggestellt.

Einzelnachweise

1. ↑ Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. 1916 (Nachdruck 1971, 2004), S. 46 ff abgerufen am 10. April 2019

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