Nombre palindrome

Un nombre palindrome en base b est un nombre (entier) dont l'écriture dans cette base est un palindrome, c'est-à-dire qu'elle se lit de la même façon de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche. Quand la base n'est pas précisée, il s'agit de l'écriture décimale usuelle. Ainsi, 1, 11, 272 ou 9669 sont des nombres palindromes.

Palindromes en base dix[modifier | modifier le code]

Tous les nombres en base dix d'un chiffre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sont palindromes. Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres :

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

et aussi 90 nombres palindromes de quatre chiffres :

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

donc, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 10⁴. Il existe 1 099 nombres palindromes inférieurs à 10⁵ et pour les autres exposants de 10ⁿ, nous avons : 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,1 099 999,... (suite A070199 de l'OEIS). Pour certains types de nombres palindromes, ces valeurs sont indiquées dans la table ci-dessous. Ici, 0 est inclus.

	10¹	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰
n naturel	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n pair	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n impair	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n carré parfait	4		7		14	15	20		31
n premier	4	5	20		113		781		5953
n sans carré	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n avec carré (μ(n)=0)	3	6	41	78	423	+	+	+	+	+
n carré avec racine première	2		3		5
n avec un nombre pair de facteurs premiers distincts (μ(n)=1)	2	6	35	56	324	+	+	+	+	+
n avec un nombre impair de facteurs premiers distincts (μ(n)=-1)	5	7	33	65	352	+	+	+	+	+
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts	1	2	9	21	100	+	+	+	+	+
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers	0	1	12	37	204	+	+	+	+	+
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts	0	0	4	24	139	+	+	+	+	+
n pair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts	1	2	11	15	98	+	+	+	+	+
n impair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts	1	4	24	41	226	+	+	+	+	+
n impair avec exactement deux facteurs premiers	1	4	25	39	205	+	+	+	+	+
n pair avec exactement deux facteurs premiers	2	3	11		64	+	+	+	+	+
n pair avec exactement trois facteurs premiers	1	3	14	24	122	+	+	+	+	+
n pair avec exactement trois facteurs premiers distincts
n impair avec exactement trois facteurs premiers	0	1	12	34	173	+	+	+	+	+
n nombre de Carmichael	0	0	0	0	0	1+	+	+	+	+
n pour lequel σ(n) est palindrome	6	10	47	114	688	+	+	+	+	+

Buckminster Fuller a qualifié les nombres palindromes « nombres de Schéhérazade » dans son livre Synergetics, parce que Schéhérazade est le nom de la conteuse dans Les Mille et Une (1001) Nuits^[1].

Des additions ayant un palindrome pour résultat[modifier | modifier le code]

Prenez un nombre au hasard. Additionnez-le avec son symétrique en lecture. Selon le nombre, en appliquant successivement le même processus au résultat, on peut obtenir un palindrome.

1234 + 4321 = 5555, c'est un palindrome. Autre exemple : 149 + 941 = 1090 ; 1090 + 0901 = 1991, on obtient un palindrome en deux étapes.

Cette règle fonctionne presque pour tous les nombres. Le premier pour lequel cela ne fonctionne pas est 196. De tels nombres sont rares. Ils sont appelés nombres de Lychrel.

Des multiplications ayant un palindrome pour résultat[modifier | modifier le code]

12 multiplié par 21 donne 252.

111 111 111 multiplié par 111 111 111 donne 12 345 678 987 654 321.

Propriété[modifier | modifier le code]

Les nombres palindromes de taille paire sont multiples de 11 (voir Liste de critères de divisibilité#Critère de divisibilité par 11).

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Bien que les nombres palindromes soient le plus souvent représentés dans le système décimal, le concept de palindromicité peut être appliqué aux entiers naturels dans n'importe quel système de numération. Considérons un nombre n > 0 en base b ≥ 2, où il est écrit en notation standard avec k+1 chiffres tel que :

n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}

avec 0 ≤ a_i < b pour tout i et a_k ≠ 0. Alors n est un nombre palindrome si et seulement si a_i = a_k−i pour tout i.

Bases autres que dix[modifier | modifier le code]

Les nombres palindromes binaires sont :

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

ou en décimal : 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … suite A006995 de l'OEIS. Tous les nombres de Fermat et de Mersenne sont des nombres palindromes binaires.

En base dix-huit, certaines puissances de 7 sont palindromes :

7⁰	=	1
7¹	=	7
7³	=	111
7⁴	=	777
7⁶	=	12321
7⁹	=	1367631

Et dans la base vingt-quatre, les huit premières puissances de 5 sont palindromes :

5⁰	=	1
5¹	=	5
5²	=	11
5³	=	55
5⁴	=	121
5⁵	=	5A5
5⁶	=	1331
5⁷	=	5FF5
5⁸	=	14641
5^A	=	15AA51
5^C	=	16FLF61

Nombres palindromes dans plusieurs bases[modifier | modifier le code]

Tout nombre n est palindrome dans toutes les bases b avec b ≥ n + 1 (car n est alors un nombre à un seul chiffre), mais aussi dans la base n – 1 (car n est alors 11_{n – 1}).

La plupart des nombres sont palindromes dans plusieurs bases inférieures au nombre lui-même ; par exemple : $1221_{4}=151_{8}=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}$ , $1991_{10}=7C7_{16}$ .

6643 est le plus petit nombre à la fois palindrome en base 2 et en base 3^[2].

Un nombre non palindrome dans toutes les bases 2 ≤ b < n – 1 est appelé un nombre strictement non palindrome.

Propriétés des nombres palindromes[modifier | modifier le code]

La série des inverses des nombres palindromes non nuls est convergente quelle que soit la base^[3], vers 3,37028… si la base est dix (suite A118031 de l'OEIS).
Pour toute base de numération supérieure ou égale à 5, tout entier est somme d'au plus 3 nombres palindromes, cette borne est optimale car il existe pour toute base supérieure ou égale à 2 une infinité d'entiers qui ne sont pas somme de deux nombres palindromes (en base dix, c'est par exemple le cas de 21)^[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Palindromic number » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 277
↑ ^{a et b} Jean-Paul Delahaye, « 121, 404 et autres nombres palindromes », Pour la science, n^o 480,‎ octobre 2017, p. 80-85 (lire en ligne).
↑ Jeffrey Shallit (prop.) et H. Klauser (sol.), « Elementary problems and solutions — B441. Sum of base-b palindrome reciprocals », Fibonacci Quarterly, vol. 19,‎ 1981, p. 469 (lire en ligne).