Nombre hexagonal

En mathématiques, un nombre hexagonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un hexagone. Le nombre hexagonal d'ordre $n$ est donné par la formule ^[1]^,^[2] :

H_{n}=P_{6,n}=n(2n-1)=P_{3,2n-1}

.

Ainsi, les nombres hexagonaux sont simplement les nombres triangulaires d'indice impair.

Les vingt-deux premiers sont 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861 et 946 (suite A000384 de l'OEIS).

Obtention de ces nombres[modifier | modifier le code]

Pour avoir $n$ points sur chaque côté de l'hexagone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $6-1$ points aux sommets de l'hexagone et $(6-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $H_{n}-H_{n-1}=5+4(n-2)=4(n-1)+1$ .

Donc $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}(4(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(4k+1)=2n(n-1)+n=n(2n-1)$ .

Autre construction[modifier | modifier le code]

De la formule générale $P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}$ , découle par exemple que $H_{n}$ est la somme du nombre carré d'ordre $n$ : $C_{n}=P_{2,n}$ et de deux nombres triangulaires d'ordre $n$ : $H_{n}=C_{n}+2T_{n-1}=n^{2}+n(n-1)$ ; voir la figure de gauche, inscrivant cette construction dans un hexagone non régulier.

La figure de droite montre un hexagone, également non régulier, tracé dans un réseau carré, ce qui donne, pour l'étape $n$ où il y a $n$ points dans chaque côté : un rectangle de $n(2n-1)$ points et deux triangles de $1+3+\cdots +2n-3=(n-1)^{2}$ points, soit $n(2n-1)+2(n-1)^{2}=4n^{2}-5n+2$ points, voir la suite A033951 de l'OEIS.

Propriétés[modifier | modifier le code]

$H_{n}$ est la somme du nombre triangulaire d'ordre $n$ et de trois nombres triangulaires d'ordre $n-1$ : $H_{n}=T_{n}+3T_{n-1}$ .

$H_{n}=n+4T_{n-1}=n+2n(n-1)$ est congru à $n$ modulo 4 et a donc même parité que lui.

Réduite modulo 9, la suite des nombres hexagonaux suit périodiquement le motif des neuf valeurs suivantes : 1, 6, 6, 1, 0, 3, 1, 3, 0.

Tout entier n > 130 peut être exprimé comme somme d'au plus quatre nombres hexagonaux ; Adrien-Marie Legendre l'avait démontré en 1830 pour n > 1791 (voir la suite A007527 de l'OEIS).

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hexagonal number » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 66 (lire en ligne)
↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 2

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 66 (lire en ligne)

[:12-2] (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 2

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