Nombre hautement composé

Un nombre hautement composé est un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que n'en ont les nombres qui le précèdent.

Raymond Badiou a proposé de les appeler nombres ploutons (de ploutos, divinité de la richesse) ^[1].

Historique[modifier | modifier le code]

La définition et l'appellation de ces nombres a été introduite en 1915 par Srinivasa Ramanujan ^[2].

Cependant, Jean-Pierre Kahane a suggéré que le concept était connu de Platon qui a établi à 5040 le nombre idéal de citoyens dans une cité, sa propriété d'avoir de nombreux diviseurs permettant de les répartir en de nombreux sous-groupes de même taille^[3]. Il est plus probable que 5040 ait été simplement choisi pour sa propriété d'être égal à $7!=2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7$ .

Certains nombres hautement composés ont également été utilisés longtemps pour leur bonne décomposabilité : les 240 deniers d'une livre créés en Europe sous Charlemagne, les 360 degrés d'un angle, les 60 sous-unités de la base sexagésimale mésopotamienne utilisée dans l'Antiquité mésopotamienne, ou le découpage du temps et de l'espace en 60 minutes et en 60 secondes, ou le comptage à la douzaine, qui chacun permettent diverses divisions exactes. En pratique ces nombres aux propriétés intéressantes peuvent facilement être fabriqués en multipliant des petits nombres multiples de 2, 3 et 5, comme 4, 6, 10, 12 eux-mêmes composés, mais ont eu une durée d’utilisation notablement longue, comptable en millénaires.

Premières valeurs[modifier | modifier le code]

Les vingt-et-un premiers nombres hautement composés sont les suivants (huit d'entre eux, en gras, sont même hautement composés supérieurs) :

nombres hautement composés (suite A002182 de l'OEIS)	1	2	4	6	12	24	36	48	60	120	180	240	360	720	840	1 260	1 680	2 520	5 040	7 560	10 080
nombres de diviseurs positifs (suite A002183 de l'OEIS)	1	2	3	4	6	8	9	10	12	16	18	20	24	30	32	36	40	48	60	64	72
décomposition en facteurs premiers		2	2²	2 3	2² 3	2³ 3	2² 3²	2⁴ 3	2² 3 5	2³ 3 5	2² 3² 5	2⁴ 3 5	2³ 3² 5	2⁴ 3² 5	2³ 3 5 7	2² 3² 5 7	2⁴ 3 5 7	2³ 3² 5 7	2⁴ 3² 5 7	2³ 3³ 5 7	2⁵ 3² 5 7
décomposition en produit de primorielles		2	2²	6	2 6	2² 6	6²	2³ 6	2 30	2² 30	6 30	2³ 30	2 6 30	2² 6 30	2² 210	6 210	2³ 210	2 6 210	2² 6 210	6² 210	2³ 6 210

On peut noter que les 7 premières factorielles : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, sont hautement composées, mais 8!=40320 ne l'est pas.

Décroissance des exposants de la décomposition en produit de facteurs premiers[modifier | modifier le code]

Pour donner une idée de la forme d'un nombre hautement composé, on peut dire qu'il s'agit d'un nombre possédant des facteurs premiers aussi petits que possible, sans être trop de fois les mêmes. En effet, si l'on considère la décomposition d'un entier $n>1$ en facteurs premiers comme suit :

n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}

où $p_{1}=2<p_{2}=3<...<p_{k}$ sont les $k$ premiers nombres premiers, et où le dernier exposant $c_{k}$ est non nul, alors le nombre de diviseurs de $n$ est :

(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).

Par conséquent, pour que $n$ soit hautement composé, il faut^[2] que $c_{1}\geqslant c_{2}\geqslant ...\geqslant c_{k}$ (sinon, en échangeant les deux exposants fautifs on diminue $n$ tout en conservant le même nombre de diviseurs : par exemple 18 = 2¹ × 3² peut être remplacé par 12 = 2² × 3¹, chacun a 6 diviseurs). Cette condition nécessaire équivaut à : $n$ est décomposable en produit de primorielles. Tout nombre hautement composé est donc un nombre pratique.

Cette condition n'est malheureusement pas suffisante ; par exemple, $96=2^{5}.3$ remplit la condition de décroissance mais n'est pas hautement composé : $60=2^{2}.3.5$ possède également 12 diviseurs tout en étant strictement plus petit.

On peut aussi montrer^[2] qu'on a toujours $c_{k}=1$ , sauf dans deux cas particuliers $n=4$ et $n=36$ .

Propriété d'abondance[modifier | modifier le code]

Les nombres hautement composés strictement supérieurs à 6 sont aussi des nombres abondants. Un seul coup d'œil aux trois ou quatre plus hauts diviseurs d'un nombre hautement composé particulier est nécessaire pour confirmer ce fait.

Évaluation asymptotique[modifier | modifier le code]

Si $Q(x)$ représente la quantité de nombres hautement composés qui sont inférieurs ou égaux à $x$ , Ramanujan a montré en particulier^[2] que

\lim _{x\to \infty }Q(x)/\ln x=+\infty ,

ce qui prouve qu'il y a une infinité de nombres hautement composés.

Plus précisément, il existe une constante b telle que

({\ln x})^{35/32}\leq Q(x)\leq ({\ln x})^{b}.

La minoration de $Q(x)$ fut prouvée par Paul Erdős en 1944^[4] et la majoration par Jean-Louis Nicolas (en) en 1971^[5].

Exemple[modifier | modifier le code]

Le nombre hautement composé 10 080 = 2⁵ × 3² × 5 × 7 a 72 diviseurs.
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Les nombres en gras sont eux-mêmes hautement composés. Seul le vingtième nombre hautement composé 7 560 (= 3 × 2 520) est absent.

Le nombre 10 080 est également « 7-friable », c'est-à-dire que tous ses facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à 7.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Certains de ces nombres sont utilisés dans les systèmes traditionnels de mesure, et ont tendance à être utilisés en ingénierie, en raison de leur usage dans les calculs de fractions compliqués, ainsi 12 et 60.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Highly Composite Number », sur MathWorld
(en) Bill Lauritzen, « Versatile Numbers: Self-Organization, Emergence and Economics », août 2000
(en) Algorithme et listes sur une ancienne page web (1998) de Kiran Kedlaya
Nombres impairs hautement composés (ayant strictement plus de diviseurs que les impairs précédents)^[6]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Highly composite number » (voir la liste des auteurs).

↑ Raymond Badiou, « Sur les nombres entiers " riches en diviseurs " », Bulletin de l'APMEP N°249,‎ septembre 1965, p. 409-414 (lire en ligne)
↑ ^{a b c et d} (en) S. Ramanujan, « Highly composite numbers », Proc. London Math. Soc. (2), vol. 14,‎ 1915, p. 347-409 (DOI 10.1112/plms/s2_14.1.347, zbMATH 45.1248.01).
↑ (en) Kahane, Jean-Pierre, « Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre », Notices of the American Mathematical Society,‎ février 2015, p. 136–140.
↑ (en) P. Erdős, « On highly composite numbers », J. London Math. Soc., vol. 19,‎ 1944, p. 130-133 (lire en ligne).
↑ J.-L. Nicolas, « Répartition des nombres hautement composés de Ramanujan », Canad. J. Math., vol. 23, n° 1, 1971, p. 116-130.
↑ (en) N. J. A. Sloane, « Highly composite odd numbers », sur OEIS

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Raymond Badiou, « Sur les nombres entiers " riches en diviseurs " », Bulletin de l'APMEP N°249,‎ septembre 1965, p. 409-414 (lire en ligne)

[Ramanujan-2] {a b c et d} (en) S. Ramanujan, « Highly composite numbers », Proc. London Math. Soc. (2), vol. 14,‎ 1915, p. 347-409 (DOI 10.1112/plms/s2_14.1.347, zbMATH 45.1248.01).

[3] (en) Kahane, Jean-Pierre, « Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre », Notices of the American Mathematical Society,‎ février 2015, p. 136–140.

[4] (en) P. Erdős, « On highly composite numbers », J. London Math. Soc., vol. 19,‎ 1944, p. 130-133 (lire en ligne).

[5] J.-L. Nicolas, « Répartition des nombres hautement composés de Ramanujan », Canad. J. Math., vol. 23, n° 1, 1971, p. 116-130.

[6] (en) N. J. A. Sloane, « Highly composite odd numbers », sur OEIS

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v · m Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation	Nombre premier Nombre composé Nombre puissant Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs	Nombre parfait Nombre presque parfait Nombre quasi parfait Nombre parfait multiple Nombre hémiparfait Nombre hyperparfait Nombre superparfait Nombre unitairement parfait Nombre semi-parfait Nombre semi-parfait primitif Nombre pratique Nombre abondant Nombre hautement abondant Nombre superabondant Nombre colossalement abondant Nombre déficient Nombre étrange Nombre intouchable
Nombreux diviseurs	Nombre hautement composé Nombre hautement composé supérieur
Autre	Nombres amicaux Nombre sociable Nombre solitaire Nombre sublime Nombre à moyenne harmonique entière Nombre frugal Nombre équidigital Nombre extravagant