Factorisation de Cholesky

La factorisation de Cholesky, nommée d'après André-Louis Cholesky, consiste, pour une matrice symétrique définie positive $A$ , à déterminer une matrice triangulaire inférieure $L$ telle que : $A = LL T$ .

La matrice $L$ est en quelque sorte une « racine carrée » de $A$ . Cette décomposition permet notamment de calculer la matrice inverse $A -1$ , de calculer le déterminant de A (égal au carré du produit des éléments diagonaux de $L$ ) ou encore de simuler une loi multinormale. Elle est aussi utilisée en chimie quantique pour accélérer les calculs (voir Décomposition de Cholesky (chimie quantique)).

Exemple[modifier | modifier le code]

La matrice symétrique $A$ :

{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&5&5&5\\1&5&14&14\\1&5&14&15\\\end{pmatrix}}

est égale au produit de la matrice triangulaire $L$ :

{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&2&0&0\\1&2&3&0\\1&2&3&1\\\end{pmatrix}}

avec à sa droite sa transposée $L T$ :

{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&2&2\\0&0&3&3\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}

Théorème[modifier | modifier le code]

Théorème — Si $A$ est une matrice symétrique définie positive, il existe une matrice réelle triangulaire inférieure $L$ telle que^[1]:

A = LL T

.

De plus cette décomposition est unique si l'on impose à $L$ d'avoir des coefficients diagonaux strictement positifs.

Démonstration

Notons $B=(e_{1},...e_{n})$ la base canonique de $\mathbb {R} ^{n}$ .

A est symétrique définie positive, donc elle représente un certain produit scalaire dans B.

Soit $B'=(e_{1}',...e_{n}')$ une base orthonormée pour ce produit scalaire. On note P la matrice de passage de B' vers B.

La formule de changement de base pour une application bilinéaire donne $A=P^{T}\mathrm {I} _{n}P=P^{T}P$

On va chercher à bien choisir B' de sorte que P soit triangulaire supérieure à coefficient diagonaux positifs.

Pour cela on cherche B' orthonormée telle que :

\forall k\in \{1,...,n\},{\begin{cases}{\rm {Vect}}(e_{1},...,e_{k})={\rm {Vect}}(e_{1}',...,e_{k}')\\e_{k}.e_{k}'>0\end{cases}}

L'algorithme de Gram-Schmidt garantit l'existence et l'unicité d'une telle base, d'où l'existence et l'unicité de P. Enfin on pose $L=P^{T}$ dont on déduit la forme voulue.

Algorithme[modifier | modifier le code]

On cherche la matrice :

L={\begin{bmatrix}l_{11}\\l_{21}&l_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots \\l_{n1}&l_{n2}&\cdots &l_{nn}\end{bmatrix}}

De l'égalité $A = LL T$ on déduit :

a_{ij}=\left(LL^{T}\right)_{ij}={\sum _{k=1}^{n}l_{ik}l_{jk}}={\sum _{k=1}^{\min \left\{i,j\right\}}l_{ik}l_{jk}},\;1\leq i,j\leq n

puisque $l pq =0$ si $1 \leq p < q \leq n$ .

La matrice $A$ étant symétrique, il suffit que les relations ci-dessus soient vérifiées pour $i \leq j$ , c'est-à-dire que les éléments $l ij$ de la matrice $L$ doivent satisfaire :

a_{ij}={\sum _{k=1}^{i}l_{ik}l_{jk}},\;1\leq i\leq j\leq n

Pour $i =1$ , on détermine la première colonne de $L$ :

a_{11}=l_{11}l_{11}

d'où

l_{11}={\sqrt {a_{11}}}

a_{1j}=l_{11}l_{j1}

d'où

l_{j1}={\frac {a_{1j}}{l_{11}}},\;\;\;2\leq j\leq n

On détermine la i-ème colonne de $L$ $2 \leq i \leq n$ , après avoir calculé les $(i -1)$ premières colonnes :

a_{ii}=l_{i1}l_{i1}+\ldots +l_{ii}l_{ii}

d'où

l_{ii}={\sqrt {a_{ii}-{\sum _{k=1}^{i-1}l_{ik}^{2}}}}

a_{ij}=l_{i1}l_{j1}+\ldots +l_{ii}l_{ji}

d'où

l_{ji}={\frac {a_{ji}-{\sum _{k=1}^{i-1}l_{ik}l_{jk}}}{l_{ii}}},\;\;\;i+1\leq j\leq n

Il résulte du théorème précédent qu'il est possible de choisir tous les éléments $l ii >0$ en assurant que toutes les quantités

a_{11},\ldots ,a_{ii}-{\sum _{k=1}^{i-1}l_{ik}^{2}},\ldots

sont positives.

Décomposition de Cholesky alternative[modifier | modifier le code]

La décomposition de Cholesky alternative permet d'éviter l'utilisation des racines carrées au sein des sommes, source potentielle de problème en calcul numérique, elle se calcule de la façon suivante^[2] :

A=LDL^{\mathrm {T} }

où $D$ est une matrice diagonale, et $L$ une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur sa diagonale.

D_{jj}=A_{jj}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{jk}^{2}D_{kk}

L_{ij}={\frac {1}{D_{jj}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}D_{kk}\right),\qquad {\text{pour }}i>j.

Les factorisations $LDL T$ et $LL T$ (notez que la matrice $L$ est différente dans les deux cas) sont liées :

A=LDL^{\mathrm {T} }=LD^{\frac {1}{2}}D^{\frac {1}{2}}L^{\mathrm {T} }=LD^{\frac {1}{2}}(D^{\frac {1}{2}})^{\mathrm {T} }L^{\mathrm {T} }=LD^{\frac {1}{2}}(LD^{\frac {1}{2}})^{\mathrm {T} }

La dernière expression étant le produit d'une matrice triangulaire et de sa transposée, de la même manière que dans la factorisation $LL T$ .

On remarquera que la racine carrée d'une matrice diagonale (ici, $D 1/2$ ) se calcule trivialement en prenant les racines carrées de chacun de ses éléments.

Histoire[modifier | modifier le code]

La décomposition porte le nom d'André-Louis Cholesky un officier et ingénieur français. Elle figure dans le manuscrit intitulé « Sur la résolution numérique des systèmes d'équations linéaires », manuscrit porté en 2005 aux Archives de l'École Polytechnique. Daté du 2 décembre 1910, son contenu n'était auparavant connu que par une publication du commandant Benoît, qui décrivit la méthode de Cholesky en 1924, soit plusieurs années après sa mort^[3]. Il est probable que Cholesky ait découvert cette méthode en 1902^[3].

La méthode, définie pour un problème de topographie, resta longtemps inconnue des mathématiciens^[3]. Elle fut remise en avant par John Todd (en) en 1946 dans son cours d'analyse numérique au King's College de Londres^[3].

Cette méthode est aujourd'hui centrale en analyse numérique.

Note[modifier | modifier le code]

↑ Xavier Gourdon, Les Maths en tête: Algèbre, page 247
↑ (en) D. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, p. 84.
↑ ^{a b c et d} Claude Brezinski et Dominique Tournès, « André–Louis Cholesky (1875-1918), mathématicien, topographe, enseignant et officier », sur Images des maths, 15 juillet 2015.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

La méthode de Cholesky est essentielle en analyse numérique. Il existe donc une multitude de références, parmi lesquelles :

Philippe Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, 1985 (rééd. 2001), éd. Masson, coll. Math. Appl. pour la Maîtrise (ISBN 2-225-68893-1)

Lien externe[modifier | modifier le code]

Sur la résolution numérique des systèmes linéaires, manuscrit de Cholesky en ligne et commenté sur le site BibNum.

Portail de l’algèbre

[1] Xavier Gourdon, Les Maths en tête: Algèbre, page 247

[2] (en) D. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, p. 84.

[IdM-3] {a b c et d} Claude Brezinski et Dominique Tournès, « André–Louis Cholesky (1875-1918), mathématicien, topographe, enseignant et officier », sur Images des maths, 15 juillet 2015.

[1]

[2]

[3]

v · m Analyse numérique
Recherche de zéro	Méthode de Josephy-Newton Méthode de la sécante Méthode de Newton Point fixe
Transformations de matrice	Matrice de Hessenberg Décomposition LU Factorisation de Cholesky
Résolutions de systèmes	Méthode de Gauss-Seidel Méthode de surrelaxation successive (SOR) Méthode de Jacobi Décomposition QR Décomposition LU
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